用數學突破非理性思維 (Patreon)

一般人都能夠明白的 Bayesian Probability

「Matthew Trickett 一定係被謀殺喇！」「一定係有人想同 Ebrahim Raisi 爭做下一任最高領袖所以製造呢場意外。」

「一定」，這兩個字，是多麼的肯定。

每日網上很多人就各種假設爭論不休。假如是可以用事實去證偽的事，其實只要將證據陳列出來就夠。假如是不能透過事實去證偽的命題，我們最多只可以說，那些可能性的機會大一點，那些的可能性相對低。

甚至乎，有一點我也要懺悔：自己的曾經有過以上精彩的聯想。所以我才會刻意提醒自己，不要將假設的當作是事實。

一日未有結論，一切都只是假設；甚至有所謂的結論，也不應該完全抹殺其他各種可能性。

今日要記得的一件事就是：Humans are meaning-making machines.

以上這句說話，我找不到出處；但它的意思很簡單：「我們會將見到的事情，不論有沒有關連，串連成故事。然後，就是各種信念的形成。」

信念會變成更多的故事，令信念本身更牢不可破。循環論證的思維，令信念是人類文明最強大的力量。

一直到啟蒙時代，人類才首次有系統地突破以上提到的，近乎本能的思考模式；這種思考方法，叫做科學方法。

科學方法多少都有點違反我們自然的思想模式。現代教育的意義，理想就是透過大規模地將人類的思想和行為改進，當中包括了科學方法的思考。

科學方法當中，有一個很重要的數學工具叫 Bayesian Probability。

可能是因為我自小就很喜歡賭博，所以也很喜歡計算事情的機會率。學會了計算機會率之後，基本上我不再對骰寶、輪盤、老虎機、六合彩之類的賭博感興趣，因為我知道這些賭博都是「智商稅」。

我只會跟人賭，例如打麻將又或者不同形式的 Poker。

尤其是打啤，基本上就是從對手的行為不斷修正機會率的計算；我也知道絕大多數的對手，都是憑感覺行事。所以，懂得如果這種機會率的計算方式，其實有很大的優勢。

透過不斷地加入新證據改變對機會率估算的方法，數學上叫 Bayesian Probability 。

為了說明這一點，就用最近的經貿辦間諜案被告死因不明事件為例；案件其中一個被告 Matthew Trickett 在審判之前，被發現在英國的一個公園裡暴斃。

雖然我們暫時知道的事實就只有那麼多，但與此同時也可以用邏輯推理出最少三個可能性：

（H1）他殺，包括是被外國政府殺害，又或者其他任何人殺害，例如他也涉及到調查另一宗錢債案；

（H2）自殺；在控方反對被告申請保釋的時候，有提及過被告在看守所中曾表示自殺的意圖；

（H3）意外；沒有人知道 Trickett 是否有濫藥，又或者其他隱疾之類。

計算 Bayesian Probability 的第一步，就是為每個可能性，先假設一系列的機會率。

假設我們認為只有三個可能性：

「他殺」的機會率（H1），很低只是 15%；

「自殺」的機會率（H2）最高，有60%；

「意外死亡」（H3）佔剩下的 25%。

以上的假設，可以是很粗糙地用各種方法推測，也可以是憑過去的案例去做參考。接下來，我們透過參考得到新的證據，修正以上三可能的機會率。

H1：假如驗屍報告發現，被告身體內有不尋常的毒素又或者放射性物質（L1），就可以很證據確鑿的告訴我們他殺的機會率極高，舉例說 99.5%；

H2：假如驗屍報告發現，被告體內有過量的殘餘精神科藥物，例如鎮靜劑，但這個因素導致死亡的機會率，舉例說只有一半一半，即 50%；

H3：又或者同時發現死者有其他原因導致疑犯死亡的可能性（L3）例如隱性心臟病，舉例說導致死亡的機會率只有一半一半 50%。

情境（A）：假如以上三組證據都同時存在，用 Bayesian Probability 的公式，我們透過新證據，來更新先前的信念：

𝑃(𝐻∣𝐸) = 𝑃(𝐸∣𝐻) ⋅ 𝑃(𝐻) / 𝑃(𝐸)

𝑃(𝐻∣𝐸) 是在有證據 𝐸 的情況下，假設 𝐻 的後驗概率；

𝑃(𝐸∣𝐻) 是在 𝐻 為真時，觀察到 𝐸 的可能性；

𝑃(𝐻) 是 𝐻 的先驗概率；

𝑃(𝐸) 是觀察到 𝐸 的總概率；

𝑃(𝐸) = 𝑃(𝐸∣𝐻1) ⋅ 𝑃(𝐻1) + 𝑃(𝐸∣𝐻2) ⋅ 𝑃(𝐻2) + 𝑃(𝐸∣𝐻3) ⋅ 𝑃(𝐻3)

代入我們剛才的數值：

𝑃(𝐸) = (0.15⋅0.995) + (0.6⋅0.5) + (0.25⋅0.5) = 0.14925 + 0.3 + 0.125 = 0.57425

現在我們可以計算經修正後的概率為：

𝑃(𝐻1∣𝐸) ≈ 0.26， 即約為 26%

𝑃(𝐻2∣𝐸) ≈ 0.52， 即約為 52%

𝑃(𝐻3∣𝐸) ≈ 0.22 ，即約為 22%

以上數字代表了甚麼？當掌握了新證據，例如驗屍報告發現死者體內有特工暗殺有的毒素，他殺的機會率（H1）由最初的 15% 升到 26% ，自殺（H2）的可能性由 60% 降低至 52% ，意外死亡的機會率，由最初的 25% 降到 22% 。

另一個情況是情境（B），假如只發現 H1 的客觀證據，但完全找不到 H2 和 H3 的證據，用資訊代入計算，結果就變成：

𝑃(𝐸) = (0.15⋅0.995) + (0.6⋅0) + (0.25⋅0) = 0.14925

𝑃(𝐻1∣𝐸) ≈ 1， 即約為 100%

𝑃(𝐻2∣𝐸) ≈ 0， 即約為 0%

𝑃(𝐻3∣𝐸) ≈ 0 ，即約為 0%

要證據確鑿地肯定死因，尤其是可能性相對低的原因（例如他殺），不只要證據去確認死者的死因，同時也要排除其他的可能性；其實這才是科學方法必須的的做法。

換句話說，不可以只會看到一個證據，就下定論；但真正嚴謹的推算，更重要是用「排除法」。

當然，大前提是有客觀具體的證據。

我明白，計算的確是很累人的。那怕打麻雀和 Poker 需要考慮的可能性已經算是很容易計算，但很多人都只會憑直覺去做決定。在現實世界發生的事情，可能性絕對不只三個，而且要推算的各種可能性更難掌握到證據。

所以，對於那些「估估下」的事，由各種社會事件到市場經濟的未來走勢，我們最多亦只可以靠排除法去讓自己的預測機會率比其他人高一點。

最後，還有一點要留意是，剛才提到的例子，尤其是以上的情境（B）的例子，是過度地簡化。

借用 Carl Segan 的兩句做結論：

the absence of evidence is not the evidence of absence ；沒有證據，不代表有證據去證明事實不存在。

extraordinary claims require extraordinary evidence ；大膽的假設就要有強烈的證據。

有些事情我們既然沒有證據，甚至連計算各種可能性的數據也不多的話，還是抱一個開放的態度，接受有不同的可能性；尤其是對未來的預測，應該要有這種態度，更理想的是，對機會率有點認識。